Как се смята площ и квадратура?

Всеки човек, иска или не, ежедневно има нужда от математика и не само, за да си сметне рестото, а и за някои геометрични задачи например да изчисли колко боя му трябва, за да си боядиса стаята.

Как се смята площ?

За изчисление на площта (терминът "квадратура" ще изясним по-късно) на различни повърхности на жилища или участъци в градината, често са достатъчни формулите, които знаем от училище, за правоъгълник и триъгълник, а лицето на по-сложните форми се получава като се раздели фигурата на прости елементи, за които има формули и после се съберат. Изчисленията стават бързо и лесно с помощта на калкулатор:

правоъгълник: S=a×b, където а е дължината, пък b - ширината;
триъгълник: S=a×h/2;
предлагам един по-прост начин изчисление на площта на страничните четири стени на стандартна стая S=(a+b)*2*h, вместо да се смята площта на всяка стена поотделно и да се събират (h, естествено, е височината).

Общата площ на стени и таван е S_t=(a+b)×2×h+a×b=(4+3)×2×2+4×3=40м²

При тавански помещения с наклонен таван с по-сложни очертания, в изчисленията се използва средната височина на вертикалните стени, а за самия наклонен таван - едната страна е хипотенузата, която се изчислява по формулата на Питагор: b₁=√(b₀² + |h₁-h₂|²) за триъгълника, образуван от проекцията на наклонения ръб и разликата на височините.

Общата площ на стени и таван е S_t=S₁×2+S₃+S₄=6×2+6+3+12.4=33.4м²

Когато наклонът не е много стръмен, разликaтa между дължината на хипотенузата и проекцията ѝ може да се пренебрегне.

Що е то квадратура?

Сега да поговорим за квадратурата, понятие, което всъщност не е еквивалентно на площ.

Думата "квадратура" има латински произход (quadratura) и означава "придаване на квадратна форма". Тя е математически термин, който някога е означавал намиране на площта на фигура или повърхност, но смисълът на думата "квадратура" постепенно се променя.

Древногръцките математици от школата на Питагор, разбират изчислението на площта на фигура като геометрично построение с помощта на пергел и линийка на квадрат, равен по площ на дадената фигура. Точно оттук идва терминът "квадратура".

Квадратура и средно геометрично

За да се направи изчислението на площта на правоъгълник със страни a и b, трябва да се построи квадрат със страна x = √(a×b), което е средно геометрично a и b. За целта трябва да се построи окръжност, чийто диаметър е равен на сумата от двете страни на правоъгълника a и b, тогава височината BH (вижте фигурата), ще бъде средното геометрично.

По подобен начин се решава задачата за квадратура на успоредник, триъгълник, а и на квадратура на всякакъв многоъгълник.

Квадратурата на кръга

Много по-трудни се оказаха задачите за изчисление на квадратурата на криволинейни фигури. Квадратурата на кръг е невъзможно да се построи с пергел и линийка, защото числото пи е ирационално, но това е доказано едва през 19 век.

Най-голямото постижение на математическия анализ от древността е изчислението на квадратурата на повърхността на сфера и на сегмент от парабола, решени от Архимед:

площта на повърхността на сфера е равна на четири пъти площта на големия кръг на тази сфера;
площта на сегмент на парабола, отрязан от него с права линия, е 4/3 от площта на триъгълника, вписан в този сегмент.

По-нататъшното развитие на темата е свързано с появата на интегралното смятане, което дава универсален метод за изчисление на площ. Терминът "квадратура" започна постепенно да излиза от употреба и в случаите, когато е използван, става синоним на термина "интеграл".